მათემატიკის დეპარტამენტის სამეცნიერო სემინარის სხდომა

2015 წლის  29  იანვარს,  15.00 საათზე, თსუ XI კორპუსში, აუდიტორია № 421 შედგება ზუსტ და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებათა ფაკულტეტის მათემატიკის  სამეცნიერო სემინარის სხდომა

მოხსენების თემა: „დამატებითი სიმრავლურ-თეორიული აქსიომების გამოყენება ნამდვილი ცვლადის ფუნქციათა თეორიასა და ზომის თეორიაში“       

მომხსენებელი: მარიამ ბერიაშვილი
(ივ. ჯავახიშვილის სახ. თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის დოქტორანტი)

ანოტაცია:ინტენსიურმა კვლევებმა მათემატიკურ ანალიზში, ფუნქციათა თეორიასა და ზომის თეორიაში საფუძველი ჩაუყარა სხვადასხვა პარადოქსალური წერტილოვანი სიმრავლეების კვლევას. მათ შორის მნიშვნელოვანი როლი უკავია ვიტალის სიმრავლეებს, ბერნშტეინის სიმრავლეებს, ჰამელის ბაზისს, ლუზინის სიმრავლეებსა და სერპინსკის სიმრავლეებს. შესწავლილია მათი დესკრიფციული სტრუქტურა და დადგენილია მათ შორის კავშირები.
   ჩვენს მიერ განხილულია ზემოთ ჩამოთვლილი სიმრავლეები ზომის თეორიისა და ფუნქციათა თეორიის თვალსაზირისით  და დადგენილია მათ შორის დამოკიდებულებები. კერძოდ ნაჩვენებია, რომ
    არსებობს ადიტიური ფუნქცია R-დან R^2-ში, რომლის მნიშვნელობათა სიმრავლე შეიცავს ერთ წრფეზე არამდებარე 3 წერტილს, მაშინ f გვაძლევს კოშის ფუნქციონალური განტოლების არატრივიალურ ამონახსნს;
    არსებობს R-ზე ინვარიანტული ზომა μ ისეთი, რომ იგი წარმოადგენს ლებეგის ზომის გაგრძელებას და μ ზომის მიმართ სერპინსკის ყველა სიმრავლე ხდება ზომადი;
     ნამდვილი ცვლადის ფუნქციის ფარდობითად ზომადობა ყველა არანულოვან σ-სასრულო არასეპარაბელურ ზომათა კლასის მიმართ იწვევს ამავე ფუნქციის ფარდობითად ზომადობას ყველა არანულოვან σ-სასრულო სეპარაბელურ ზომათა კლასის მიმართ;
    R^Nსივრცეზე მოცემული χ ბორელის σ-სასრულო ზომის ინვარიანტულ, არასეპარაბელურ და ერთადერთობის თვისების მქონე ზომათა გაგრძელებების კლასის სიმძლავრე არი  2^(2^c ).


Abstract

Some applications of additional set-theoretical axioms in the theory of real-valued functions and measure theory

Intensive research in mathematical analysis, theory of functions and measure theory may be regarded  as a basis for studying  various paradoxical point sets. We consider certain types of interesting and important point sets on the real line, such as Vitali sets, Bernstein sets, Hamel bases, Luzin sets, and Sierpinski sets. These classical pathological subsets of the real line are envisaged and their various descriptive properties are investigated from the measure-theoretical view-point.
In this thesis we are dealing with the above-mentioned sets in light of function theory and measure theory, and establish some interrelations between them. In particular, it is shown that:
    the existence of an additive function from R into R^2, whose range contains three non-collinear points, implies (within ZF & DC theory) the existence of a nontrivial solution of Cauchy’s functional equation;
    there exists a translation invariant measure μ on R extending the standard Lebesgue measure and such that all Sierpinski sets are measurable with respect to μ;
    the relative measurability of a real-valued function with respect to the class of non-separable sigma-finite measures implies the relative measurability of the same function with respect to  the class of separable sigma-finite measures;
    the class of all non-separable invariant extensions of a certain nonzero sigma-finite invariant Borel measure on the space R^(N  )has maximal cardinality equal to 2^(2^c ).